Question

已知函数f(x)＝px――2lnx．

(1)若p＝2，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围；

(3)设函数g(x)＝，若在[1．e]上至少存在一点x₀，使得f(x₀)＞g(x₀)成立，求实数p的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：当时，函数，．，曲线在点处的切线的斜率为．从而曲线在点处的切线方程为，即． 　　(2)．令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立．由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是． 　　(3)∵在上是减函数，∴时，；时，，即， 　　①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数．当时，，因为，所以，，此时，在内是减函数．故当时，在上单调递减，不合题意； 　　②当时，由，所以．又由⑵知当时，在上是增函数，∴，不合题意； 　　③当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，故只需，，而，，即，解得，所以实数的取值范围是．