Question

6．（1+2x）ⁿ（其中n∈N₊且n≥6）的展开式中x³与x⁴项的二项式系数相等，则系数最大项为672x⁵．

Answer 1

分析 （1+2x）ⁿ（其中n∈N₊且n≥6）的展开式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^r=2^r${∁}_{n}^{r}$x^r，又x³与x⁴项的二项式系数相等，可得${∁}_{n}^{3}$=${∁}_{n}^{4}$，解得n=7．由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{r+2}{∁}_{7}^{r+2}≤{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}}\\{{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}≥{2}^{r}{∁}_{7}^{r}}\end{array}\right.$，解得：r即可得出．

解答 解：（1+2x）ⁿ（其中n∈N₊且n≥6）的展开式中，T_r+1=${∁}_{n}^{r}$（2x）^r=2^r${∁}_{n}^{r}$x^r，
又x³与x⁴项的二项式系数相等，
∴${∁}_{n}^{3}$=${∁}_{n}^{4}$，
解得n=7．
∴T_r+1=2^r${∁}_{7}^{r}$x^r．
由$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{r+2}{∁}_{7}^{r+2}≤{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}}\\{{2}^{r+1}{∁}_{7}^{r+1}≥{2}^{r}{∁}_{7}^{r}}\end{array}\right.$，解得：r=4．
则系数最大项为第5项．
T₅=${2}^{5}{∁}_{7}^{5}$x⁵=672x⁵．
故答案为：672x⁵．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．