Question

14．如图：几何体ABCD-B₁C₁D₁中，正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，平面D₁DCC₁与与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=$\sqrt{5}$，AD∥BC，M为DD₁上任意一点．
（1）当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，求DM的长；
（2）若DM=$\frac{5}{4}$，求直线AD与平面BC₁M所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出BD、CD、DD₁两两垂直，以D为原点，DB、DC、DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，DM的长．
（2）当DM=$\frac{5}{4}$时，求出平面BC₁M的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面BC₁M所成的角的正弦值．

解答 解：（1）∵正方形BB₁D₁D⊥平面ABCD，D₁D∥CC₁，∴CC₁⊥面ABCD，
∴CD⊥CC₁，BC⊥CC₁，∴∠BCD是平面D₁DCC₁与与平面B₁BCC₁所成的二面角的平面角，
∵平面D₁DCC₁与与平面B₁BCC₁所成的二面角的余弦值为$\frac{2}{3}$，BC=3，CD=2CC₁=2，AD=$\sqrt{5}$，AD∥BC，M为DD₁上任意一点，
∴cos∠BCD=$\frac{2}{3}$，BD=$\sqrt{4+9-2×2×3×\frac{2}{3}}$=$\sqrt{5}$，BC₁=$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$，DC₁=$\sqrt{5}$，
∴BD²+DC₁²=BC₁²，∴BD⊥C₁D，
∴BD、CD、DD₁两两垂直，以D为原点，DB、DC、DD₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
当平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁时，设DM=t，
则M（0，0，t），B（$\sqrt{5}$，0，0），C₁（0，2，1），C（0，2，0），
$\overrightarrow{BM}$=（-$\sqrt{5}$，0，t），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-$\sqrt{5}$，2，1），$\overrightarrow{BC}$=（-$\sqrt{5}$，2，0），
设平面BC₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\sqrt{5}x+2y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\sqrt{5}x+2y=0}\end{array}\right.$，
取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，$\sqrt{5}$，0），
设平面BC₁M的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BM}=-\sqrt{5}a+tc=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-\sqrt{5}a+2b+c=0}\end{array}\right.$，
取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2t}$，$\frac{\sqrt{5}}{t}$），
∵平面BC₁M⊥平面BCC₁B₁，∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=2+$\sqrt{5}（\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2t}+0）$=0，
解得t=$\frac{5}{9}$．
（2）当DM=$\frac{5}{4}$时，平面BC₁M的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，$\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{\sqrt{5}}{\frac{5}{2}}，\frac{\sqrt{5}}{\frac{5}{4}}$）=（1，$\frac{\sqrt{5}}{10}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$），
A（$\frac{5}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，0），∴$\overrightarrow{DA}$=（$\frac{5}{3}$，-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，0），
设直线AD与平面BC₁M所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{DA}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{|\frac{4}{3}|}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{17}{4}}}$=$\frac{8\sqrt{85}}{255}$，
∴直线AD与平面BC₁M所成的角的正弦值为$\frac{8\sqrt{85}}{255}$．

点评 本题考查线段长的求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．