Question

判断下列函数的奇偶性.

(1)f(x)=|sinx|+cosx;

(2)f(x)=;

(3)y=;

(4)y=.

Answer 1

思路分析：本题主要考查奇偶性的判定.判断奇偶性的方法.①判断定义域是否关于原点对称；

②判断f(-x)与f(x)的关系.

解：（1）函数的定义域为R,

f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)

=|-sinx|+cosx

=|sinx|+cosx=f(x).

∴函数为偶函数.

(2)由1+sinx+cosx≠0得

x≠π+2kπ,且x≠+2kπ,k∈Z.

∴函数的定义域不关于原点对称.

∴函数f(x)=为非奇非偶函数.

(3)∵sinx-1≥0,

∴sinx=1,x=2kπ+(k∈Z).

函数定义域不是关于原点对称的区间，故为非奇非偶函数.

(4)∵1-cosx≥0且cosx≥1，

∴cosx=1,x=2kπ(k∈Z).此时，y=0，故该函数既是奇函数，又是偶函数.

温馨提示

    判断函数的奇偶性，要特别注意函数的定义域.如果定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若定义域关于原点对称.再通过化简判断f(-x)与f(x)的关系，如f(x)=f(-x)且f(x)≠-f(x),则该函数为只偶非奇函数；如：f(-x)=-f(x)且f(-x)≠f(x)，则该函数为只奇非偶函数；如f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x)，则该函数为既奇又偶函数； 如f(-x)≠f(x)，且f(-x)≠-f(x)，则该函数为非奇非偶函数.