Question

【题目】已知圆M： 和点 ，动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）点A是曲线E与x轴正半轴的交点，点B，C在曲线E上，若直线AB，AC的斜率分别是k1 ， k2 ， 满足k1k2=9，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：圆M： 的圆心为M（0，﹣ ），半径为2 ，

点N（0， ），在圆M内，因为动圆P经过点N且与圆M相切，

所以动圆P与圆M内切．设动圆P半径为r，则2 =|PM|．

因为动圆P经过点N，所以r=|PN|，|PM|+|PN|= ＞|MN|，

所以曲线E是M，N为焦点，长轴长为2 的椭圆．

由a= ，c= ，得b2=3﹣2=1，

所以曲线E的方程为：

（2）解：直线BC斜率为0时，不合题意；

设B（x1，y1），C（x2，y2），直线BC：x=ty+m，

联立方程组 ，得（1+3t2）y2+6mty+3m2﹣3=0，

y1+y2= ，y1y2= ，

又k1k2=9，知y1y2=9（x1﹣1）（x2﹣1）=9（ty1﹣1+m）（ty2﹣1+m）

=9t2y1y2+9（m﹣1）t（y1+y2）+9（m﹣1）2．

且m≠1，y1+y2= ，y1y2= ，代入化简得（9t2﹣1）（m+1）﹣18mt2+3（m﹣1）（1+3t2）=0，

解得m=2，故直线BC过定点（2，0），

由△＞0，解得t2＞1，

S△ABC= |y2﹣y1|= = = ，

（当且仅当 时取等号）．

综上，△ABC面积的最大值为：

【解析】（1）先根据圆M的一般方程求得其圆心坐标及半径，再结合点N的位置判断圆M与圆P是内切还是外切，因此可列出两个圆的半径与其圆心距的关系，从而得到|PM|+|PN|=＞|MN|，有椭圆定义可得曲线E的方程；（2）先根据所给条件判断直线BC的特征，再利用三角形ABC的特点列出面积公式并求其取值范围进而求得三角形面积的最大值.