Question

某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（万元）随销售利润x（万元）的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x，其中哪个模型能符合公司要求？

Answer 1

思路解析：某个奖励模型符合公司要求，即当x∈［10,1 000］时，能够满足y≤5，且≤25%，可以先从函数图象得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果.

解：借助计算器或计算机作出函数y=5,y=0.25x,y=log₇x+1,y=1.002^x的图象如图所示：

观察图象发现，在区间［10,1 000］上模型y=0.25x,y=1.002^x的图象都有一部分在y=5的上方，这说明只有按模型y=log₇x+1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断.

首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.

对于模型y=0.25x，它在区间［10,1 000］上是单调递增的，当x∈(20,1 000)时，y>5，因此该模型不符合要求.

对于模型y=1.002^x，利用计算器可知1.002⁸⁰⁶≈5.005，由于y=1.002^x是增函数，故当x∈(806,1 000］时，y>5，因此，也不符合题意.

对于模型y=log₇x+1，它在区间［10,1 000］上单调递增，且当x=1 000时，y=log₇1 000+1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.

再计算按模型y=log₇x+1奖励时，奖金是否超过利润x的25%，即当x∈［10,1 000］时，利用计算器或计算机作f(x)=log₇x+1-0.25x的图象，由图象可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈-0.316 7＜0，即log₇x+1＜0.25x.

所以当x∈［10,1 000］时，y＜0.25x.

这说明，按模型y=log₇x+1奖励不超过利润的25%.

综上所述，模型y=log₇x+1确实符合公司要求.