Question

某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖励总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％，现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log₇x＋1，y＝1.002^x，其中哪个模型能符合公司要求？

Answer 1

答案：
解析：

解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像如下图所示： 　　观察图像发现，在区间[10，1000]上模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在y＝5的上方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励才能符合公司要求，下面通过计算确认上述判断． 　　首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 　　对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1000]上是单调递增的，当x∈(20，1000)时，y＞5，因此该模型不符合要求． 　　对于模型y＝1.002x，利用计算器，可知1.002806≈5.005，由于y＝1.002x是增函数，故当x∈(806，1000]时，y＞5，因此，也不符合题意． 　　对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1000]上单调递增且当x＝1000时，y＝log71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 　　再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否超过利润x的25％，即当x∈[10，1000]时，利用计算器或计算机作f(x)＝log7x＋1－0.25x的图像，由图像可知f(x)是减函数，因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x． 　　所以当x∈[10，1000]时，y＜0.25x．这说明，按模型y＝log7x＋1奖励不超过利润的25％． 　　综上所述，模型y＝log7x＋1确实符合公司要求．

提示：

思路分析：本题主要考查指数函数、幂函数、对数函数增长差异，以及应用数学知识解决实际问题的能力．某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1000]时，能够满足y≤5，且≤25％，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果． 　　绿色通道：从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增大的含义．