Question

某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，且奖金y(万元)随销售利润x(万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％．现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log₇x，y＝1.002^x，其中哪个模型能符合公司的要求？

Answer 1

答案：
解析：

解：借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25 x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(如图)，观察图象发现，在区间[10，1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x 的图象都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断． 　　首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元． 　　对于模型y＝0.25x，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x∈(20，1 000)时，y＞5，因此该模型不符合要求； 　　对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x0满足1.002x0，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x＞x0时，y＞5，因此该模型也不符合要求； 　　对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求． 再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25％，即当x∈[10，1 000]时，是否有 　　令f(x)＝log7x＋1－0.25x，x∈[10，1 000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图略)，由图象可知它是单调递减的，因此f(x)＜f(10)＜0，因此log7x＋1＜0.25x． 说明按模型y＝log7x＋1奖励，奖金不会超过利润的25％． 　　综上所述，模型y＝log7x＋1能符合公司要求．

提示：

分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25％，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润，于是，只需在区间[10，1 000]上检验三个模型是否符合公司要求即可． 　　不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论，再通过具体计算确认结果． 　　解题心得：从本例可知，底数大于1的指数函数模型比线性函数(斜率大于零)模型增长速度要快的多，从而可体会到“指数爆炸”的含义． 　　对数函数(底数大于1)模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律．