Question

已知数列{a_n}满足a₁=10，a_n=6a_n+1-

1

2

×4ⁿ，n≥2，n∈Z．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

＜

1

8

；
（3）证明：数列{a_n}中任意三项不可能成为等差数列．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列递推式得到an-4n=6(an-1-4n-1)，从而得到等比数列{an-4n}，然后由等比数列的通项公式得答案；
（2）由an=6n+4n，想到借助于二项式定理证明6ⁿ+4ⁿ≥2•5ⁿ．得到

1

an

≤

1

2•5n

，代入要证明的不等式左边后利用等比数列的求和证得答案；
（3）采用反证法思想，假设存在a_m，a_p，a_n （m，p，n∈N^*）成等差数列，借助于数列{a_n}为递增数列推得矛盾，从而说明假设错误，原命题得证．

解答： （1）解：由a_n=6a_n+1-

1

2

×4ⁿ，可得an-4n=6(an-1-4n-1)．
又a₁=10，a₁-4=6≠0，
∴数列{an-4n}是以6为首项，公比为6的等比数列，
∴an-4n=6•6n-1，即an=6n+4n；
（2）证明：先证明6ⁿ+4ⁿ≥2•5ⁿ．
当n=1时，10=10满足题意；
当n≥2，n∈Z时，6n=(5+1)n=

C

0 n

5n+

C

1 n

5n-1+…+

C

n-1 n

5+

C

n n

．
4n=(5-1)n=

C

0 n

5n-

C

1 n

5n-1+

C

2 n

5n-2-…+

C

n-1 n

5(-1)n-1+

C

n n

(-1)n．
当n为偶数时，
6n+4n=2(

C

0 n

5n+

C

2 n

5n-2+…+

C

n-2 n

52+

C

0 n

)＞2

C

0 n

5n=2•5ⁿ．
当n为奇数时，
6n+4n=2(

C

0 n

5n+

C

2 n

5n-2+…+

C

n-1 n

5)＞2

C

0 n

5n=2•5n．
从而n∈N^*时，6ⁿ+4ⁿ≥2•5ⁿ，
则

1

6n+4n

≤

1

2•5n

．
又an=6n+4n，
∴

1

an

≤

1

2•5n

．
则

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

≤

1

2

(

1

5

+

1

52

+…+

1

5n

)
=

1

2

•

1 5 (1- 1 5n )

1- 1 5

=

1

8

(1-

1

5n

)＜

1

8

；
（3）证明：假设存在a_m，a_p，a_n （m，p，n∈N^*）成等差数列，
∵{a_n}为递增数列，
不妨设a_m＜a_p＜a_n，则有m＜p＜n，从而2a_p=a_m+a_n，
又p≤n-1，
则ap≤an-1=6n-1+4n-1，
2ap≤2an-1=2•6n-1+2•4n-1=

1

3

•6n+

1

2

•4n＜6n+4n=an．
∴2a_p＜a_m+a_n．
与假设矛盾，
故数列{a_n}中任意三项不可能成为等差数列．

点评：本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了由放缩法证明不等式，体现了反证法解题思想方法，属于难度较大的题目．