Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（c-3a-2b）x+d的图象如图所示．
（1）求c，d的值；
（2）若函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求导函数，利用函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0，建立方程，即可求c，d的值；
（2）利用函数f（x）在x=2处的切线方程为3x+y-11=0，建立方程，即可求出a，b，从而可求函数f（x）的解析式．

解答： 解：函数f（x）的导函数为f′（x）=3ax²+2bx+c-3a-2b…（3分）
（1）由图可知，函数f（x）的图象过点（0，3），且f′（1）=0
∴

d=3 3a+2b+c-3a-2b=0

  ⇒

d=3 c=0

…（7分）
（2）依题意  f′（2）=-3且f（2）=5，
∴

12a+4b-3a-2b=-3 8a+4b-6a-4b+3=5

解得a=1，b=-6，
∴f（x）=x³-6x²+9x+3…（12分）

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的解析式，属于中档题．