Question

已知：函数f（x）对一切实数x，y都有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值．
（2）求f（x）的解析式．
（3）已知a∈R，设P：当0＜x＜

1

2

时，不等式f（x）+3＜2x+a恒成立；Q：当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-ax是单调函数．如果满足P成立的a的集合记为A，满足Q成立的a的集合记为B，求A∩C_RB（R为全集）．

Answer 1

分析：（1）对抽象函数满足的函数值关系的理解和把握是解决该问题的关键，对自变量适当的赋值可以解决该问题，结合已知条件可以赋x=-1，y=1求出f（0）；
（2）在（1）基础上赋值y=0可以实现求解f（x）的解析式的问题；
（3）利用（2）中求得的函数的解析式，结合恒成立问题的求解策略，即转化为相应的二次函数最值问题求出集合A，利用二次函数的单调性求解策略求出集合B．

解答：解：（1）令x=-1，y=1，则由已知f（0）-f（1）=-1（-1+2+1）
∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）-f（0）=x（x+1）
又∵f（0）=-2
∴f（x）=x²+x-2
（3）不等式f（x）+3＜2x+a即x²+x-2+3＜2x+a
也就是x²-x+1＜a．由于当0＜x＜

1

2

时，

3

4

＜x2-x+1＜1，又x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＜a恒成立，
故A={a|a≥1}，g（x）=x²+x-2-ax=x²+（1-a）x-2 对称轴x=

a-1

2

，
又g（x）在[-2，2]上是单调函数，故有

a-1

2

≤-2，或

a-1

2

≥2，
∴B={a|a≤-3，或a≥5}，C_RB={a|-3＜a＜5}
∴A∩C_RB={a|1≤a＜5}．

点评：本题考查抽象函数解析式的求解，考查赋值法求函数值、函数解析式的思想，考查恒成立问题的解决方法、考查二次函数单调性的影响因素，考查学生的转化与化归能力，属于中档题．