Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

6

3

，短轴一个端点到右焦点的距离为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

3

2

，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意求出a，b的值，从而得到所求椭圆的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（1）当AB⊥x轴时，|AB|=

3

．（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，然后由根与系数的关系进行求解．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意

c a = 6 3 a= 3

∴b=1，∴所求椭圆方程为

x2

3

+y2=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（1）当AB⊥x轴时，|AB|=

3

．
（2）当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m．
由已知

|m|

1+k2

=

3

2

，得m2=

3

4

(k2+1)．
把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k²+1）x²+6kmx+3m²-3=0，
∴x1+x2=

-6km

3k2+1

，x1x2=

3(m2-1)

3k2+1

．
∴|AB|²=（1+k²）（x₂-x₁）²
=(1+k2)[

36k2m2

(3k2+1)2

-

12(m2-1)

3k2+1

]
=

12(k2+1)(3k2+1-m2)

(3k2+1)2

=

3(k2+1)(9k2+1)

(3k2+1)2

=3+

12k2

9k4+6k2+1

=3+

12

9k2+ 1 k2 +6

(k≠0)≤3+

12

2×3+6

=4．
当且仅当9k2=

1

k2

，即k=±

3

3

时等号成立．当k=0时，|AB|=

3

，
综上所述|AB|_max=2．∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值S=

1

2

×|AB|max×

3

2

=

3

2

．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用，认真审题，仔细解答．