试题分析:(Ⅰ)函数
是否关于1可线性分解,关键是看是否存在
使得
成立,若成立,是关于1可线性分解,否则不是关于1可线性分解,故看
是否有解,构造函数
,看它是否有零点,而
,观察得
,
,有根的存在性定理可得存在
,使
;(Ⅱ)先确定定义域为
,函数
关于
可线性分解,即存在
,使
,即
有解,整理得
有解,即
,从而求出
的取值范围;(Ⅲ)证明不等式:
,当
时,
,对
求导,判断最大值为
,可得
,分别令
,叠加可得证结论.
试题解析:(Ⅰ)函数
的定义域是R,若是关于1可线性分解,
则定义域内存在实数
,使得
.
构造函数
.
∵
,
且
在
上是连续的,
∴
在
上至少存在一个零点.
即存在
,使
. 4分
(Ⅱ)
的定义域为
.
由已知,存在
,使
.
即
.
整理,得
,即
.
∴
,所以
.
由
且
,得
.
∴a的取值范围是
. 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a =1,
,
.
当
时,
,所以
的单调递增区间是
,当
时,
,所以
的单调递减区间是
,因此
时,
的最大值为
,所以
,即
,因此得:
,
,
,
,
,以上各式相加得:
,即
,所以
,即
. 14分