Question

14．已知函数f（x）=ksinx+kcosx+sinxcosx-1，若f（x）≤0恒成立，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{3\sqrt{2}}{4}$]
• B． [-$\frac{\sqrt{6}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$]
• C． [-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]
• D． [-$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$]

Answer 1

分析 令sinx+cosx=t，由和差角公式易得t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，换元后问题转化为f（t）=$\frac{1}{2}$t²+kt-$\frac{3}{2}$≤0在t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]恒成立，由二次函数的知识可得k的不等式组，解不等式组可得答案．

解答 解：变形可得f（x）=k（sinx+cosx）+sinxcosx-1，
令sinx+cosx=t，则t=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，
平方可得1+2sinxcosx=t²，∴sinxcosx=$\frac{{t}^{2}-1}{2}$，
代入已知函数解析式可得f（t）=kt+$\frac{{t}^{2}-1}{2}$-1=$\frac{1}{2}$t²+kt-$\frac{3}{2}$，
∴f（x）≤0恒成立转化为f（t）=$\frac{1}{2}$t²+kt-$\frac{3}{2}$≤0在t∈[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]恒成立，
由二次函数的知识可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-\sqrt{2}）=1-\sqrt{2}k-\frac{3}{2}≤0}\\{f（\sqrt{2}）=1+\sqrt{2}k-\frac{3}{2}≤0}\end{array}\right.$，
解不等式组可得-$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及换元法和二次函数的知识，属中档题．