Question

16．已知函数f（x）=2x²e^x与g（x）=3xe^x+a的图象有且只有两个公共点，则实数a的取值范围是a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．

Answer 1

分析 令a=h（x）=2x²e^x-3xe^x，求导h′（x）=e^x（2x+3）（x-1），从而确定函数的单调性及极值，从而结合图象解得．

解答 解：由题意得，2x²e^x=3xe^x+a，
∴a=h（x）=2x²e^x-3xe^x，
h′（x）=4xe^x+2x²e^x-3e^x-3xe^x
=e^x（2x²+x-3）
=e^x（2x+3）（x-1），
∴h（x）在（-∞，-$\frac{3}{2}$）上是增函数，在（-$\frac{3}{2}$，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
且h（1）=-e，h（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$，且$\underset{lim}{x→-∞}$h（x）=0，
故作h（x）=2x²e^x-3xe^x的图象如下，

结合图象可知，实数a的取值范围是a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．
故答案为：a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．

点评 本题考查了导数的综合应用及数形结合的思想应用．