Question

5．设实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{y-x≤2}\\{y≥1}\end{array}\right.$，则（x+3）²+y²的取值范围是[5，17]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，设z=（x+3）²+y²，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
设z=（x+3）²+y²，则z的几何意义为区域内的点P（x，y）到定点D（-3，0）的距离的平方，
由图象可知A，D的距离最小，此时z最小，C，D的距离最大，此时z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即C（1，1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{y-x=2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（-1，1），
则z_min=（-1+3）²+1²=4+1=5，z_max=（1+3）²+1²=16+1=17，
即5≤z≤17，
故（x+3）²+y²的取值范围是[5，17]，
故答案为：[5，17]

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用两点间的距离公式结合数形结合是解决本题的关键．