Question

15．设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在点（1，1）处的切线与y轴的交点的纵坐标为y_n，令b_n=2y_n，b₁•b₂•…b₂₀₁₀的值为2²⁰¹⁰•2010!．

Answer 1

分析 先求出其导函数，把x=1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与y轴的交点的纵坐标的表达式，即可求出结论．

解答 解：因为y=xⁿ⁺¹，
故y′=（n+1）xⁿ，
所以x=1时，y′=n+1，
则直线方程为y-1=（n+1）（x-1），
令x=0，则y=1-（n+1）=-n，
故切线与y轴的交点为（ 0，-n），
即有b_n=2y_n=-2n，
则b₁•b₂•…b₂₀₁₀=（-2）×（-4）×…×（-4020）
=2²⁰¹⁰•2010!．
故答案为：2²⁰¹⁰•2010!．

点评 当题目中遇到求曲线C在点A（m，n）的切线方程时，其处理步骤为：①判断A点是否在C上②求出C对应函数的导函数③求出过A点的切线的斜率④代入点斜式方程，求出直线的方程．同时考查运算能力，属于中档题．