Question

16．已知ABC-A₁B₁C₁是各棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC₁的中点，则直线AD与平面ABB₁A₁所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 作出D到平面ABB₁A₁的垂线，求出垂线段与AD的长，再计算线面角．

解答 解：取AB，A₁B₁的中点M，M₁，连接MM₁，取MM₁的中点N，连接DN，AN．
∵△A₁B₁C₁是等边三角形，
∴C₁M₁⊥A₁B₁，
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，C₁M₁?平面A₁B₁C₁，
∴AA₁⊥C₁M₁，
∴C₁M₁⊥平面ABB₁A₁，
∵C₁D$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA₁，M₁N$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AA₁，
∴C₁D$\stackrel{∥}{=}$M₁N，
∴四边形C₁DNM₁是平行四边形，
∴DN∥C₁M₁，
∴DN⊥平面ABB₁A₁，
∴∠DAN为AD与平面ABB₁A₁所成的角．
设三棱柱的棱长为1，则DN=C₁M₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴sin∠DAN=$\frac{DN}{AD}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查了线面角的做法与计算，构造垂线段做出线面角是解题关键，也可以利用空间向量来解决问题，属于中档题．