Question

11．已知函数f（x）=sinx-xcosx．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$时，$f（x）＜\frac{1}{3}{x^3}$；
（Ⅲ）若f（x）＞kx-xcosx对$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（π），f（π），求出切线方程即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，求出g（x）的单调性，从而证出结论；
（Ⅲ）问题转化为k＜$\frac{sinx}{x}$对$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，令m（x）=$\frac{sinx}{x}$，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，根据函数的单调性求出k的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinx-xcosx，f′（x）=xsinx，
f′（π）=0，f（π）=π，
故切线方程是y-π=0；
（Ⅱ）证明：令g（x）=f（x）-$\frac{1}{3}$x³，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，
g′（x）=x（sinx-x），令h（x）=sinx-x，h′（x）=cosx-1＜0，
∴h（x）在$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$递减，故h（x）＜h（0）=0，
∴g′（x）＜0，g（x）递减，
∴g（x）＜g（$\frac{π}{2}$）=$\frac{24{-π}^{3}}{24}$＜0，
故当$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$时，$f（x）＜\frac{1}{3}{x^3}$成立；
（Ⅲ）若f（x）＞kx-xcosx对$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，
即k＜$\frac{sinx}{x}$对$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$恒成立，
令m（x）=$\frac{sinx}{x}$，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$，
m′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$＜0，
∴m（x）在（0，$\frac{π}{2}$）递减，
m（x）＞m（$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{π}$，
故k≤$\frac{2}{π}$．k的最大值是$\frac{2}{π}$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立，是一道中档题．