Question

19．如图所示，已知P，Q是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面A₁B₁BA和面ABCD的中心．
（1）求证：PQ∥平面BCC₁B₁；
（2）求直线PQ与平面ABCD所成角．

Answer 1

分析 （1）以B为原点建立坐标系，求出$\overrightarrow{PQ}$和平面BCC₁B₁的法向量$\overrightarrow{BA}$，通过证明$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$得出PQ∥平面BCC₁B₁．
（2）求出平面ABCD的法向量$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，计算cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞，于是直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞|．

解答 解：（1）证明：以B为原点，以BA，BC，BB₁为坐标轴建立空间直角坐标系B-xyz，如图所示，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，
∴$\overrightarrow{BA}$为平面BCC₁B₁的一个法向量，
设正方体的棱长为2，则P（1，0，1），Q（1，1，0），
B（0，0，0），A（2，0，0），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（0，1，-1），$\overrightarrow{BA}$=（2，0，0）．
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{BA}$=0，
∴$\overrightarrow{PQ}$⊥$\overrightarrow{BA}$．
又PQ?平面BCC₁B₁，
∴PQ∥平面BCC₁B₁．
（2）∵BB₁⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{B{B}_{1}}$为平面ABCD的法向量，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），
∴$\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}$=-2．
∴cos＜$\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{B{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{PQ}•\overrightarrow{B{B}_{1}}}{|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{B{B}_{1}}|}$=-$\frac{-2}{\sqrt{2}×2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线PQ与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线PQ与平面ABCD所成角为$\frac{π}{4}$．

点评 本题考查了线面平行的判断，线面角的计算，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题．