Question

7．设函数f（x）=ln x-cx（c∈R）
（1）讨论函数f（x）的单调性．
（2）若f（x）≤x²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，对c讨论，即可得出函数f（x）的单调性．
（2）若f（x）≤x²恒成立，$c≥\frac{lnx}{x}-x$，?x∈（0，+∞），构造函数，求最大值，即可求c的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）=ln x-cx，
∴x∈（0，+∞），f′（x）=$\frac{1-cx}{x}$．
c≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
c＞0时f（x）在$（0\;，\;\frac{1}{c}）$单调递增，$（\frac{1}{c}\;，\;+∞）$单调递减   …6
（2）ln^x-cx≤x²，?x∈（0，+∞）
∴$c≥\frac{lnx}{x}-x$，?x∈（0，+∞）
令$F（x）=\frac{{{{ln}^x}}}{x}-x$，$F'（x）=\frac{{1-{{ln}^x}}}{{x{\;}^2}}-1=\frac{{1-{{ln}^x}-{x^2}}}{x^2}$，
F'（1）=0，?x∈（0，1），F'（x）＞0；
x∈（1，+∞），F'（x）＜0，
∴F（x）在（0，1）单调递增，在 （1，+∞）单调递减，
∴F_max=F（1）=-1，
∴c≥-1，
即c的取值范围为[-1，+∞）．…12

点评 本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确分离参数求最大值是关键．