Question

12．直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t为参数）过圆锥曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosθ}}\\{y=3tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0）的右焦点，则a=4．

Answer 1

分析 直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程．由圆锥曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosθ}}\\{y=3tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0），可得$（\frac{x}{a}）^{2}$-$（\frac{y}{3}）^{2}$=1，可得右焦点$（\sqrt{{a}^{2}+9}，0）$，代入直线方程解出即可得出．

解答 解：直线$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=-4+t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数可得普通方程：x-y-5=0．
由圆锥曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{a}{cosθ}}\\{y=3tanθ}\end{array}\right.$（θ为参数，a＞0），可得$（\frac{x}{a}）^{2}$-$（\frac{y}{3}）^{2}$=$\frac{1}{co{s}^{2}θ}$-tan²θ=$\frac{1-si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$=1，即$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
可得右焦点$（\sqrt{{a}^{2}+9}，0）$，代入直线方程可得：$\sqrt{{a}^{2}+9}$-0-5=0，化为a²=16，a＞0，解得a=4．
故答案为：4．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、双曲线的标准方程及其性质、三角函数化简求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．