Question

3．设函数f（x）=|2x-$\frac{2}{m}$|+|2x+m|（m＞0）．
（Ⅰ）证明：f（x）≥2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）若当m=2时，关于实数x的不等式f（x）≥t²-$\frac{1}{2}$t恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用绝对值三角不等式，结合基本不等式证明：f（x）≥2$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）求出f（x）_min=3，若?x∈R，$f（x）≥{t^2}-\frac{1}{2}t$恒成立，则只需$f{（x）_{min}}=3≥{t^2}-\frac{1}{2}t⇒2{t^2}-t-6≤0⇒-\frac{3}{2}≤t≤2$．

解答 （Ⅰ）证明：∵m＞0，$f（x）=|{2x-\frac{2}{m}}|+|{2x+m}|≥|{\frac{2}{m}+m}|=\frac{2}{m}+m≥2\sqrt{2}$，
当$\frac{2}{m}=m$即$m=\sqrt{2}$时取“=”号…（5分）
（Ⅱ）解：当m=2时，f（x）=|2x-1|+|2x+2|≥|（2x-1）-（2x+2）|=3
则f（x）_min=3，若?x∈R，$f（x）≥{t^2}-\frac{1}{2}t$恒成立，
则只需$f{（x）_{min}}=3≥{t^2}-\frac{1}{2}t⇒2{t^2}-t-6≤0⇒-\frac{3}{2}≤t≤2$，
综上所述实数t的取值范围是$-\frac{3}{2}≤t≤2$．…（10分）

点评 本题考查绝对值三角不等式，考查基本不等式的运用，考查恒成立问题，属于中档题．