Question

6．直平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长均为2，∠BAD=60°，则平面A₁DC₁与平面ABCD所成角的大小为arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 题目是求二面角的正弦值问题，根据给出的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，且底面为菱形这两个条件，连接底面菱形的对角线相交于一点O，再连接DO后即可得到要求的二面角的平面角，然后结合题目给出的角的大小及棱的长度，在直角三角形中可求得平面A₁DC₁与平面ABCD所成角的正弦值．

解答 解：如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵侧棱与底面垂直，
∴D₁D⊥面ABCD，
∵AC?面A₁B₁C₁D₁，
∴D₁D⊥A₁C₁．
连接A₁C₁、B₁D₁，设A₁C₁∩B₁D₁=O，连接DO，
∵A₁B₁C₁D₁是菱形，
∴A₁C₁⊥B₁D₁，
∵D₁D⊥A₁C₁，又B₁D₁∩D₁D=D₁，
∴A₁C₁⊥面B₁B₁D，
∵DB₁?面B₁B₁D，
∴A₁C₁⊥DB₁．
∴∠D₁OD为二面角D₁-A₁C₁-D的平面角，
∵面A₁B₁C₁D₁∥面ABCD，
亦即为平面A₁DC₁与平面ABCD所成的角．
∵底面A₁B₁C₁D₁是菱形，且∠B₁A₁D₁=60°，
∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，
∴D₁O=1．
再在直角三角形ODD₁中，∵D₁O=1，DD₁=2，
∴OD=$\sqrt{5}$．
∴sin∠D₁OD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴平面A₁DC₁与平面ABCD所成角的大小为arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：arcsin$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了空间中线面垂直的判定和性质，考查了二面角的平面角的找法，本题因给出的几何体具有较好的对称性，所以寻找二面角的平面角相对容易，如果二面角的平面角不易寻找时，涉及二面角的平面角问题可以借助于空间向量来处理，把二面角转化为平面法向量所成角的问题，此题属中档题．