Question

1．已知a为实数，x=1是函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+alnx的一个极值点．若函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递减，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 利用函数的导数的极值求出a，然后求解单调减区间，列出不等式组即可得到结果．

解答 解：函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+alnx，
可得f′（x）=x-6+$\frac{a}{x}$，
x=1是函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+alnx的一个极值点，
可得：1-6+a=0，解得a=5．
函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+5lnx，
f′（x）=x-6+$\frac{5}{x}$=0，可得x=1或x=5，
x∈（1，5）时，f′（x）＜0，函数f（x）=$\frac{1}{2}$x²-6x+5lnx是减函数，
因为函数f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递减，
所以$\left\{\begin{array}{l}{1≤2m-1}\\{m+1≤5}\end{array}\right.$，
解得：m∈[1，4]

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断，考查分析问题解决问题的能力．