Question

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），过右焦点且垂直于x轴的直线截椭圆所得弦长是1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设点A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过点（1，0）的直线l与椭圆交于M，N两点（M，N与A，B不重合），证明：直线AM和直线BN交点的横坐标为定值．

Answer 1

分析 （1）令x=c代入椭圆方程，可得弦长为$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，点（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）代入椭圆方程，解方程可得a=2，b=1，可得椭圆方程；
（2）设直线l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆方程x²+4y²=4，消去x，可得y的二次方程，运用韦达定理，求出直线AM，BN的方程，求交点的横坐标，代入韦达定理，化简整理可得定值4．

解答 解：（1）设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点为（c，0），
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
即有$\frac{2{b}^{2}}{a}$=1，
又$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{3}{4{b}^{2}}$=1，
解方程组可得a=2，b=1，
则椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）证明：由椭圆方程可得A（-2，0），B（2，0），
设直线l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
将直线的方程代入椭圆方程x²+4y²=4，可得
（4+m²）y²+2my-3=0，
y₁+y₂=-$\frac{2m}{4+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{4+{m}^{2}}$，
直线AM：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），BN：y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），
联立直线AM，BN方程，消去y，可得
x=$\frac{2（{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}-2{y}_{1}+2{y}_{2}）}{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}+2（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{4m{y}_{1}{y}_{2}-2{y}_{1}+6{y}_{2}}{{y}_{1}+3{y}_{2}}$，
由韦达定理可得，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{2m}{3}$，
即2my₁y₂=3y₁+3y₂，
可得x=$\frac{6{y}_{1}+6{y}_{2}-2{y}_{1}+6{y}_{2}}{{y}_{1}+3{y}_{2}}$=4．
即有直线AM和直线BN交点的横坐标为定值4．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程和弦长公式，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，联立直线方程可得交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题．