Question

6．已知点A（1，2），B（-4，4），若点C在圆（x-3）²+（y+6）²=9上运动，则△ABC的重心G的轨迹方程为x²+y²=$\frac{4}{9}$．

Answer 1

分析 设G（x，y），欲求△ABC的重心G的轨迹方程，即求出其坐标x，y的关系式即可，利用重心坐标公式表示出点C的坐标，最后根据顶点C在圆（x-3）²+（y+6）²=9运动，得出关于x，y的方程即可．

解答 解：记G（x，y），C（x₀，y₀），
由重心公式得：x=$\frac{{x}_{0}-3}{3}$，y=$\frac{{y}_{0}+6}{3}$，
于是有：x₀=3x+3，y₀=3y-6，
而C点在圆（x-3）²+（y+6）²=9上运动，
∴（3x+3-3）²+（3y-6+6）²=4，化简得：x²+y²=$\frac{4}{9}$．
故△ABC的重心G的轨迹方程是：x²+y²=$\frac{4}{9}$．
故答案为：x²+y²=$\frac{4}{9}$．

点评 充分利用圆的几何性质挖掘出动点所满足的条件是本题的关键，本题直接将动点满足的几何等量关系“翻译”成动点x，y，得方程，即为所求动点的轨迹方程．