Question

14．已知等差数列{a_n}，公差d＞0，前n项和为S_n，且满足a₂a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）设${b_n}=\frac{S_n}{{n-\frac{1}{2}}}$，
①求证{b_n}是等差数列．
②求数列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和T_n．
③求$\lim_{n→∞}{T_n}$．

Answer 1

分析 （1）运用等差数列的性质和通项公式，解方程可得d=4，由通项公式和求和公式，即可得到所求；
（2）①求得b_n，再由等差数列的定义，即可得证；
②求得$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，运用数列的求和方法：裂项相消求和，即可得到所求；
③运用数列的极限：$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{n}$=0，即可得到所求值．

解答 解：（1）∵{a_n}是等差数列，
∴${a_1}+{a_4}={a_2}+{a_3}，由已知\left\{\begin{array}{l}{a_2}•{a_3}=45\\{a_2}+{a_3}=14\end{array}\right.且d＞0$，
∴a₂=5，a₃=9，则d=a₃-a₂=4，
故a_n=a₂+（n-2）d=4n-3，
S_n=$\frac{1}{2}$（1+4n-3）n=2n²-n；
（2）①证明：∵${b_n}=\frac{S_n}{{n-\frac{1}{2}}}=2n$，
∴b_n+1-b_n=2，即{b_n}为等差数列；
②$\frac{1}{{{b_n}•{b_{n+1}}}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
前n项和T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{n}{4n+4}$；
③$\lim_{n→∞}{T_n}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n}{4n+4}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{1}{4+\frac{1}{n}}$=$\frac{1}{4+0}$=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查数列的极限的运算，属于中档题．