Question

2．若x＞0，y＞0，且x+y＞2，
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}\right.$时，分别比较$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$与2的大小关系；
（2）依据（1）得出的结论，归纳提出一个满足条件x、y都成立的命题并证明．

Answer 1

分析 （1）分别代入，计算，即可得出结论；
（2）利用反证法，证明即可．

解答 解：（1）当$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，时，$\frac{1+y}{x}$=1+2=3＞2，$\frac{1+x}{y}$=$\frac{1+1}{2}$=1＜2；
当$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=3}\end{array}\right.$时，$\frac{1+y}{x}$=$\frac{1+3}{\frac{1}{2}}$=8＞2，$\frac{1+x}{y}$=$\frac{1+\frac{1}{2}}{3}$＜2；
当$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}}\\{y=\sqrt{2}}\end{array}\right.$时，$\frac{1+y}{x}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$＜2，$\frac{1+x}{y}$=$\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$＜2
（2）命题：若x＞0，y＞0且x+y＞2，则$\frac{1+y}{x}$，$\frac{1+x}{y}$至少有一个小于2．
证明：假设$\frac{1+y}{x}$≥2，$\frac{1+x}{y}$≥2，
∵x＞0，y＞0，∴1+y≥2x，1+x≥2y．∴2+x+y≥2x+2y，∴x+y≤2．
这与已知x+y＞2矛盾． 假设不成立．∴$\frac{1+y}{x}$和$\frac{1+x}{y}$中至少有一个小于2．

点评 本题考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用反证法是关键．