Question

14．求与直线x=-2和圆A：（x-3）²+y²=1都相切的动圆圆心P的轨迹方程．

Answer 1

分析 动圆P与直线x=-2相切，且与定圆A：（x-3）²+y²=1，当与定圆A：（x-3）²+y²=1外切时，可以看到动圆的圆心P到A（3，0）的距离与到直线x=-3的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是抛物线，由此求得轨迹方程；当与定圆A：（x-3）²+y²=1内切时，设出P的坐标，由题意列式，化简可得答案．

解答 解：由题意，当动圆P与直线x=-2相切，且与定圆A：（x-3）²+y²=1外切时，
∴动点P到A（3，0）的距离与到直线x=-3的距离相等，
由抛物线的定义知，点P的轨迹是以A（3，0）为焦点，以直线x=-3为准线的抛物线，
故所求A的轨迹方程为y²=12x；
当动圆P与直线x=-2相切，且与定圆A：（x-3）²+y²=1内切时，如图：
设P（x，y），则|x+2|=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}+1$，
即|x+2|-1=$\sqrt{（x-3）^{2}+{y}^{2}}$，两边平方可得：x²+4x+4-2|x+2|+1=x²-6x+9+y²，
即y²=10x-4-2|x+4|，
∴圆心P的轨迹为$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=8x-12，x≥-4}\\{{y}^{2}=12x+4，x＜-4}\end{array}\right.$．

点评 本题考查轨迹方程，熟记抛物线的定义是求解本题的关键，由定义法求轨迹的方程是近几年高考的热点，要注意掌握高中数学中所学的几个重要定义，如圆锥曲线的定义，圆的定义等，该题是中档题．