Question

9．集合A={m+$\sqrt{3}$n|m²-3n²=1，且m，n∈Z}，试求一个属于A的元素a，再求和$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$，并判断它们是否属于A？

Answer 1

分析 解：若a∈A，则a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，进而得到$\frac{1}{a}$，$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$均满足集合A的性质，进而得到结论；

解答 解：若a∈A，则a=m+n$\sqrt{3}$且m²-3n²=1，m，n∈Z，
则$\frac{1}{a}$=$\frac{1}{m+n\sqrt{3}}$=$\frac{m-n\sqrt{3}}{{m}^{2}-3{n}^{2}}$=m-n$\sqrt{3}$=m+（-n）$\sqrt{3}$且m²-3（-n）²=1，m，-n∈Z，
故$\frac{1}{a}$∈A，
则$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$=（2-$\sqrt{3}$）（m+n$\sqrt{3}$）=（2m-3n）+（2n-m）$\sqrt{3}$，
此时（2m-3n）²-3（2n-m）²=m²-3n²=1，
故$\frac{a}{2+\sqrt{3}}$∈A；

点评 本题考查的知识点是集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合，函数的综合应用，难度中档．