Question

设函数f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(1，cos2x)，

b

=(1+sin2x，

3

)，x∈R，
（1）求函数f（x）的单调递减区间及对称轴方程；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据向量数量积公式与三角恒等变换公式，化简得f(x)=

a

•

b

=2sin（2x+

π

3

）+1，再由正弦函数的单调区间公式与对称轴方程的公式加以计算，可得f（x）的单调递减区间及对称轴方程；
（2）由（1）求出的f（x）的表达式，解不等式f（x）≥0得sin（2x+

π

3

）≥-

1

2

，再利用正弦函数的图象，可得-

π

6

+2kπ≤2x+

π

3

≤

7π

6

+2kπ（k∈Z），即可解出使f（x）≥0成立的x的取值范围．

解答：解：（1）∵

a

=(1，cos2x)，

b

=(1+sin2x，

3

)，
∴f(x)=

a

•

b

=1+sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

）+1，
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z），解得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ（k∈Z），
因此，f（x）的单调递减区间为[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]（k∈Z）．
令2x+

π

3

=

π

2

+2kπ（k∈Z），得x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
∴函数f（x）图象的对称轴方程是x=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）．
（2）若f（x）≥0，则2sin（2x+

π

3

）+1≥0，解得sin（2x+

π

3

）≥-

1

2

，
∴-

π

6

+2kπ≤2x+

π

3

≤

7π

6

+2kπ（k∈Z），得-

π

4

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈Z），
∴使f（x）≥0成立的x的取值范围为[-

π

4

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题给出向量

a

、

b

的坐标，求函数f(x)=

a

•

b

的单调区间与图象的对称轴方程．着重考查了向量数量积公式、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．