Question

（本小题满分12分）

正四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面边长是，侧棱长是3，点E、F分别在BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D．

（1）求证：A₁C⊥面AEF；

（2）求截面AEF与底面ABCD所成二面角的正切值．

 

Answer 1

【答案】

证明：（1）连接，

正四棱柱  

通过，同理可得：    

；

（2）。

【解析】

试题分析：证明：（1）连接

正四棱柱 ------2分

又 

 -------4分

同理可得：    

--------------------6分

（2） ∽

-------8分

又  底面边长是，侧棱长是3

  --------9分

得  ，

同理    -----------（10分）

又 ， --------------12分

证法二 建立空间直角坐标系（略）

考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，角的计算。

点评：典型题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程。