Question

（2010•九江二模）已知函数f(x)=sin(

π

4

x-

π

6

)-2cos2

π

8

x+1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若关于x的方程4f2(x)-mf(x)+1=0在x∈(

4

3

，4)内有实数解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用查两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为

3

sin(

π

4

x-

π

3

），由此求出函数的最小正周期，由2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得x的范围，即得函数的单调递增区间．
（2）设t=f（x），根据x的范围求出f（x）∈（0，

3

]，由题意可得方程4t²-mt+1=0在t∈（0，

3

]内有实数解，由基本不等式求得m 的取值范围．

解答：解：（1）f（x）=sin（

π

4

x-

π

6

)-2cos2

π

8

x+1=sin

π

4

•cos

π

6

-cos

π

4

x•sin

π

6

-cos

π

4

x=

3

2

sin

π

4

x-

3

2

cos

π

4

x=

3

sin(

π

4

x-

π

3

）…（3分）
∴函数f（x）的最小正周期为8．   …（4分）
令2kπ-

π

2

≤

π

4

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，求得 8k-

2

3

≤x≤8k+

10

3

，k∈z，故函数的单调递增区间为[8k-

2

3

，8k+

10

3

]，k∈Z…（6分）
（2）设t=f（x），∵x∈（

4

3

，4），∴

π

4

x-

π

3

∈(0，

2

3

π），∴f（x）∈（0，

3

]，
∴方程4t²-mt+1=0在t∈（0，

3

]内有实数解，即当t∈（0，

3

]时方程有实数解．  …（10分）
∵4t+

1

t

≥4当且仅当t=

1

2

时取等号，∴m≥4，…（8分） 故实数m的取值范围是[4，+∞）． …（12分）

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．