Question

已知函数f（x）=x²-ln x．
（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得x＞0，f（1）=1，f′(x)=2x-

1

x

，k=f′（1）=2-1=1，由此能求出曲线f（x）在x=1处的切线方程．（2）x∈[1，e]时，f′（x）＞0，从而函数f（x）在[1，e]是增函数，由此能求出函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-ln x，
∴x＞0，f（1）=1，f′(x)=2x-

1

x

，
k=f′（1）=2-1=1，
∴曲线f（x）在x=1处的切线方程为：
y-1=x-1，整理，得：y=x．
（2）∵x＞0，f′(x)=2x-

1

x

，
∴x∈[1，e]时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在[1，e]是增函数，
∴函数f（x）在[1，e]上的最大值为f（e）=e²-lne=e²-1，
最小值为f（1）=1．

点评：本题考查曲线在某点处切线方程的求法，考查函数在闭区间上最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．