Question

在锐角△ABC中，

b2

ac

≥

cos2B

cosAcosC

，则∠B的范围

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数

专题：解三角形

分析：已知不等式左边利用正弦定理化简，整理后得到tan²B≥tanAtanC，即tan³B≥tanAtanBtanC，利用诱导公式得到tan（A+C）=-tanB，利用两角和与差的正切函数公式化简，整理后利用基本不等式变形，求出tanB的范围，即可确定出B的范围．

解答： 解：由正弦定理化简已知等式得：

sin2B

sinAsinC

≥

cos2B

cosAcosC

，
∵△ABC为锐角三角形，
∴tan²B≥tanAtanC，即tan³B≥tanAtanBtanC，
由tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanAtanC

=-tanB得：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC≥3

3	tanAtanBtanC

，
∵tan³B≥tanAtanBtanC，即tan⁶B≥（tanAtanBtanC）²，
∴

3	(tanAtanBtanC)2

≥3，即tan²B≥3，
整理得：tanB≥

3

，
则B的范围为

π

3

≤B＜

π

2

．
故答案为：

π

3

≤B＜

π

2

点评：此题考查了正弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．