Question

已知函数f（x）=x²+mx-4在区间[2，4]的两个端点取得最大值和最小值，
（1）求m的取值范围；
（2）试写出最大值y关于m的函数关系式；
（3）最大值y是否存在最小值？若有，请求出来；若无，请说出理由．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由函数f（x）=x²+mx-4在区间[2，4]的两个端点取得最大值和最小值，可知区间[2，4]是单调区间，所以函数对称轴-

m

2

≤2，或者-

m

2

≥4，得到m的取值范围；
（2）由（1）可知函数的最大值为f（2）或者为f（4），列出关系式；
（3）由（2）的关系式求最小值，观察是否存在．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x²+mx-4在区间[2，4]的两个端点取得最大值和最小值，
∴对称轴-

m

2

≤2，或者-

m

2

≥4，解得m≥-4，或者m≤-8；
（2）由（1）可得，m≥-4时，函数f（x）=x²+mx-4在区间[2，4]是增函数，∴最大值为y=f（4）=12+4m；
m≤-8时，函数f（x）=x²+mx-4在区间[2，4]是减函数，∴最大值为y=f（2）=2m；
∴最大值y关于m的函数关系式y=

12+4m，m≥-4 2m，m≤-8

；
（3）由（2）可知最大值y不存在最小值；因为m≤-8时，y=2m≤-16，没有最小值．

点评：本题考查了二次函数的闭区间是最值的问题，当二次函数解析式和区间有一个含有参数时，要讨论会上的对称轴与区间的位置关系，明确区间的单调性，才能利用最值解题．