Question

【题目】某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．

（1）求直方图中a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数；
（2）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由直方图知，（0.150+0.125+0.100+0.0875+a）×2=1，

解得a=0.0375，

因为甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，

所以甲班的学生人数为 ，

所以甲、乙两班人数均为40人．

所以甲班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.0375×2=3（人）．

（2）

解：乙班学习时间在区间（10，12]的人数为40×0.05×2=4（人）．

由（1）知甲班学习时间在区间（10，12]的人数为3人，

在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，

ξ的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

．

所以随机变量ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P

【解析】（1）由直方图能求出a的值及甲班学生每天平均学习时间在区间（10，12]的人数．（2）由已知得ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．
【考点精析】本题主要考查了频率分布直方图和离散型随机变量及其分布列的相关知识点，需要掌握频率分布表和频率分布直方图，是对相同数据的两种不同表达方式.用紧凑的表格改变数据的排列方式和构成形式，可展示数据的分布情况.通过作图既可以从数据中提取信息，又可以利用图形传递信息；在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列才能正确解答此题．