Question

【题目】设函数y=4x3+ax2+bx+5在x= 与x=﹣1时有极值．
（1）写出函数的解析式；
（2）指出函数的单调区间．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=4x3+ax2+bx+5，

∴y′=12x2+2ax+b，

又∵函数y=4x3+ax2+bx+5在x= 与x=﹣1时有极值，

故x= 与x=﹣1为方程y′=12x2+2ax+b=0的两个根，

由韦达定理得：

﹣1= =﹣ =- ， ×（﹣1）=- = ，

解得a=﹣3，b=﹣18，

故y=4x3﹣3x2﹣18x+5

（2）解：由（1）得y′=12x2﹣6x﹣18=6（2x﹣3）（x+1），

当x∈（﹣∞，﹣1）∪（ ，+∞）时，y′＞0，当x∈（﹣1， ）时，y′＜0，

故函数y=4x3﹣3x2﹣18x+5的单调调增区间为：（﹣∞，﹣1），（ ，+∞）；单调递减区间为：（﹣1， ）．

【解析】（1）先求出函数的导函数f′（x），然后根据在x= 与x=﹣1时有极值，导数值为0，结合韦达定理可得a，b的值，进而得到函数的解析式；（2）分析导函数在定义域各个子区间上的符号，可得函数的单调区间．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较)．