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【题目】已知函数f(x)=x﹣ 存在单调递减区间,且y=f(x)的图象在x=0处的切线l与曲线y=ex相切,符合情况的切线l(
A.有3条
B.有2条
C.有1条
D.不存在

【答案】D
【解析】解:函数f(x)=x﹣ 的导数为f′(x)=1﹣
依题意可知,f′(x)<0在(﹣∞,+∞)有解,
①a<0时,f′(x)<0 在(﹣∞,+∞)无解,不符合题意;
②a>0时,f′(x)>0即a> ,lna> ,x<alna符合题意,则a>0.
易知,曲线y=f(x)在x=0处的切线l的方程为y=(1﹣ )x﹣1.
假设l与曲线y=ex相切,设切点为(x0 , y0),
即有 =1﹣ =(1﹣ )x0﹣1,
消去a得 ,设h(x)=exx﹣ex﹣1,
则h′(x)=exx,令h′(x)>0,则x>0,
所以h(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
当x→﹣∞,h(x)→﹣1,x→+∞,h(x)→+∞,
所以h(x)在(0,+∞)有唯一解,则
而a>0时, ,与 矛盾,所以不存在.
故选:D.

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