Question

【题目】已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），且AC，BC所在直线的斜率之积等于．

（1）求顶点C的轨迹方程；

（2）若斜率为1的直线与顶点C的轨迹交于M，N两点，且|MN|=，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）y=x±1

【解析】

试题（Ⅰ）设出C的坐标，利用AC、BC所在直线的斜率之积等于﹣，列出方程，求出点C的轨迹方程；

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合|MN|=，即可求直线l的方程．

解：（Ⅰ）设C的坐标为（x，y），则

直线AC的斜率，

直线BC的斜率，

由已知有，化简得顶点C的轨迹方程，

（Ⅱ）设直线l的方程为y=x+m，M（x1，y1），N（x2，y2），

由题意，解得5x2+8mx+4m2﹣4=0，

△=64m2﹣20（4m2﹣4）＞0，解得

∴，

代入解得m2=1，m=±1，

∴直线l的方程为y=x±1．