Question

已知函数f(x)=+lnx(a∈R,x∈［,2］)，

（1）当a∈［-2,］时，求f(x)的最大值；

（2）设g(x)=［f(x)-lnx］·x²,k是g(x)图象上不同两点连线的斜率，是否存在实数a,使得k＜1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

解：（1）f′(x)=-1+=(x²-x+a),

∵1-4a≥0，令f′(x)=0,

解得x₁=,x₂=,

∵-2≤a≤,∴0≤1-4a≤9.

∴-1≤x₁≤,≤x₂≤2.

又x∈［,2］,∴≤x≤x₂时，f′(x)≥0;x₂≤x≤2时，f′(x)≤0.

∴f(x)在x=x₂处有最大值，其值为+ln.

（2）g(x)=ax-x³,

设(x₁,y₁),(x₂,y₂)为g(x)图象上不同的两点，

则k==a-(x₂²+x₁x₂+x₁²),8分

由k＜1得a-(x₂²+x₁x₂+x₁²)＜1，

即a-1＜x₂²+x₁x₂+x₁².

不妨设≤x₁＜x₂≤2，则3x₁²＜x₂²+x₁x₂+x₁²＜3x₂²,

∴a-1≤,即a≤.

故存在a≤使题设条件得以满足.