Question

判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=(x-1)

1+x 1-x

；
（2）f(x)=

1-x2

+

x2-1

；
（3）f(x)=

lg(1-x2)

|x2-2|-2

；
（4）f(x)=

x2+x(x＜0) -x2+x(x＞0)

．

Answer 1

分析：先看函数的定义域是否关于原点对称，再看f（-x）与f（x）的关系，再根据函数的奇偶性的定义作出判断．

解答：解：（1）由

1+x

1-x

≥0，求得-1≤x＜1，故函数f（x）=（x-1）•

1+x 1-x

的定义域为[-1 1），不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数．
（2）由

1-x2≥0 x2-1≥0

，可得 x=±1，故函数的定义域为{-1，1}，关于原点对称．再由f（-1）=0，f（1）=0，可得f（-1）=±f（1），
故函数既是奇函数又是偶函数．
（3）由

1-x2＞0 |x2-2|≠2

，可得-1＜x＜1，且x≠0，故函数的定义域为（-1，0）∪（0，1），关于原点对称．
且f（-x）=

lg[1-(-x)2]

|(-x)2-2|

=

lg[1-x2]

|x2-2|

=f（x），故函数为偶函数．
（3）由于函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），当x＞0时，-x＜0，f（-x）=（-x）²+（-x）=x²-x=-f（x）；
当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-（-x）²+（-x）=-（x²+x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数．

点评：本题主要考查函数的奇偶性的定义和判断方法，属于中档题．