Question

已知点F（0，1），直线l：y=-1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知圆M过定点D（0，2），圆心M在轨迹C上运动，且圆M与x轴交于A、B两点，设|DA|=l₁，|DB|=l₂，求

l1

l2

+

l2

l1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先设出点P的坐标，代入

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

整理即可得到动点P的轨迹C的方程；
（2）先利用条件设出圆的方程，并求出A、B两点的坐标以及|DA|=l₁，|DB|=l₂的表达式，代入

l1

l2

+

l2

l1

整理后利用基本不等式求最大值即可．

解答：（1）解：设P（x，y），则Q（x，-1），
∵

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，
∴（0，y+1）•（-x，2）=（x，y-1）•（x，-2）．
即2（y+1）=x²-2（y-1），即x²=4y，
所以动点P的轨迹C的方程x²=4y．
（2）解：设圆M的圆心坐标为M（a，b），则a²=4b．①
圆M的半径为|MD|=

a2+(b-2)2

．
圆M的方程为（x-a）²+（y-b）²=a²+（b-2）²．
令y=0，则（x-a）²+b²=a²+（b-2）²，
整理得，x²-2ax+4b-4=0．②
由①、②解得，x=a±2．
不妨设A（a-2，0），B（a+2，0），
∴l1=

(a-2)2+4

，l2=

(a+2)2+4

．
∴

l1

l2

+

l2

l1

=

l12+l22

l1l2

=

2a2+16

a4+64

=2

(a2+8)2 a4+64

=2

1+ 16a2 a4+64

，③
当a≠0时，由③得，

l1

l2

+

l2

l1

=2

1+ 16 a2+ 64 a2

≤2

1+ 16 2×8

=2

2

．
当且仅当a=±2

2

时，等号成立．
当a=0时，由③得，

l1

l2

+

l2

l1

=2．
故当a=±2

2

时，

l1

l2

+

l2

l1

的最大值为2

2

．

点评：本小题主要考查圆、抛物线、基本不等式等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力