Question

请考生注意：重点高中学生只做（1）、（2）两问，一般高中学生只做（1）、（3）两问．
已知P是圆上任意一点，点F₂的坐标为（1，0），直线m分别与线段F₁P、F₂P交于M、N两点，且．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P、Q两点，若（O为坐标原点）．试求直线l在y轴上截距的取值范围；
（3）是否存在斜率为的直线l与曲线C交于P、Q两点，使得（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，否则说明理由．

Answer 1

解：（1）∵，∴点N是线段PF₂的中点
∵，
∴，化简可得
∴NM⊥PF₂，可得MN是线段PF₂的垂直平分线
∴=，可得+==4
因此，点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，长轴2a=4，焦距2c=1，可得b²=a²-c²=3
椭圆方程为+=1，即为点M的轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+n，与椭圆+=1消去y，得（3+4k²）x²+8knx+4n²-12=0
可得根的判别式△=64k²n²-16（3+4k²）（4n²-12）＞0，化简得4k²-n²+3＞0…①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=
∵
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（k₁x+n）（k₂x+n）=0，（1+k²）x₁x₂+kn（x₁+x₂）+n²=0
∴-（1+k²）+•kn+n²=0，整理得12k²=7n²-12…②
①②联解，得n²，再由②知7n²≥12，可得n≤-或n≥
故直线l在y轴上截距的取值范围是（-∞，-]∪[，+∞）
（2）设直线l的方程为y=x+n，与椭圆+=1消去y，得x²+nx+n²-3=0
可得根的判别式△=n²-4（n²-3）＞0，化简得n²＜4…①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=-n，x₁x₂=n²-3
∵
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（x+n）（x+n）=0，x₁x₂+n（x₁+x₂）+n²=0
∴（n²-3）+n（-n）+n²=0，整理得n²=…②
对照①②可得，n=±
所以存在直线l的方程：y=x+或y=x-，使得．
分析：（1）根据题意，可得MN是线段PF₂的垂直平分线，所以点M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，结合题中数据不难得到轨迹C的方程；
（2）设直线l的方程为y=kx+n，与椭圆方程联解消去y，再结合根与系数的关系将化为关于k、n的表达式，整理得12k²=7n²-12，最后用根的判别式建立不等式并解之，即可得到直线l在y轴上截距的取值范围；
（3）设直线l的方程为y=x+n，与椭圆方程联解消去y，再结合根与系数的关系将化为关于k、n的表达式，整理得n²=，结合根的判别式大于0，即可得n=±，从而得到符合题意的直线l的方程．
点评：本题以向量的运算为载体，求曲线的轨迹方程，并且探索直线的存在性，着重考查了向量的数量积运算、求轨迹方程的一般方法和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．