Question

12．如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O分别交AC，AB于点E，F，BE，CF交于点H．求证：
（Ⅰ）过C点平行于AH的直线是⊙O的切线；
（Ⅱ）BH•BE+CH•CF=BC²．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结EF，延长AH交BC于D，过C点平行于AH的直线是CM，证明△ADC∽△BEC，可得AD⊥BC，即可证明过C点平行于AH的直线是⊙O的切线；
（Ⅱ）证明BH•BE=BD•BC，同理CH•CF=CD•BC，两式相加证明BH•BE+CH•CF=BC²．

解答 解：（Ⅰ）连结EF，延长AH交BC于D，过C点平行于AH的直线是CM，
∵BC是直径，∴∠BEC=∠BFC=90°，∴∠AFH+∠AEH=180°，
∵A，F，H，E四点共圆，∴∠1=∠2，
又∵BFEC是圆内接四边形，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，
而∠C=∠C，∴△ADC∽△BEC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴AD⊥BC，∴CM⊥BC，∴CM是⊙O的切线．                   …（5分）
（Ⅱ）∵∠HDC+∠HEC=180°，∴H，D，C，E四点共圆，
∴BH•BE=BD•BC，同理CH•CF=CD•BC，
两式相加BH•BE+CH•CF=BD•BC+CD•BC=（BD+CD）•BC=BC²…（10分）

点评 本题考查圆内接四边形的性质，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．