Question

17．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，底面是边长为1的正方形，高AA₁=2．
求：（1）异面直线BD与AB₁所成角的余弦值；
（2）若P为C₁D₁上的任意一点，求四面体P-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线所成角的定义进行求解即可．
（2）根据三棱锥的体积公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵BD∥B₁D₁，AB₁=AD₁，
∴∠AB₁D₁（或其补角）为异面直线BD与AB₁所成的角，
∵$cos∠A{B_1}{D_1}=\frac{{A{B_1}^2+{B_1}{D_1}^2-A{D_1}^2}}{{2A{B_1}•{B_1}{D_1}}}=\frac{{\sqrt{10}}}{10}$，
∴$异面直线BD与A{B_1}所成的角的余弦值为\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．
（2）V_P-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•h=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×2$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查异面直线所成角的求解以及空间三棱锥的体积的计算，根据相应的定义和公式是解决本题的关键．比较基础．