Question

商场销售的某种饮品每件成本为20元，售价36元．现厂家为了提高收益，对该饮品进行促销，具体规则如下：顾客每购买一件饮品，当即从放有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个规格的小球的密封箱中连续有放回地摸取三次，若三次取出的小球编号相同，则获一等奖；若三次取出小球的编号是连号（不考虑顺序），则获二等奖；其它情况无奖．
（1）求某顾客购买1件该饮品，获得奖励的概率；
（2）若奖励为返还现金，顾客获一次一等奖，奖金数是x元，若获一次二等奖，奖金是一等奖奖金的一半，统计表明：每天的销量y（件）与一等奖的奖金额x（元）的关系式y=

x

4

+24．问：x设定为多少最佳？并说明理由．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：概率与统计

分析：（1）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为A_i，i=1，2，由等可能事件的概率计算可得P（A₁）与P（A₂），进而由一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率，由相互独立事件的概率公式计算可得答案；
（2）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，分析可得X的可能取值为x，

x

2

，0；计算可得P（X=x）以及P（X=

x

2

），结合题意计算即可得答案．

解答： 解：（2）记事件：“一顾客购买一件饮品获得i等奖”为A_i，i=1，2，
则P（A₁）=

6

63

=

1

36

，P（A₂）=

4 A 2 3

63

=

4

36

=

1

9

，
则一顾客一次购买一件饮品获得奖励的概率为P（A₁+A₂）=P（A₁）+P（A₂）=

1

36

+

4

36

=

5

36

．…（4分）
（Ⅱ）设一顾客每购买一件饮品所得奖金额为X元，则X的可能取值为x，

x

2

，0．
由（Ⅰ）得P（X=x）=

1

36

，P（X=

x

2

）=

4

36

，E（x）=

x

36

+

2x

36

=

x

12

．…（9分）
该商场每天销售这种饮品所得平均利润
Y=y[（36-20）-E（x）]=（(

x

4

+24)(16-

x

2

)=-

1

48

（x-48）²+432．
当x=48时，Y最大．故x设定为48（元）为最佳．…（12分）

点评：本题考查与概率有关的应用问题，涉及等可能事件、互斥事件的概率计算以及离散型随机变量的均值的计算，考查学生的计算能力．