Question

若曲线C：y=1-

-x2-2x

与直线l：x+y-m=0有两个不同的交点，则m的取值范围是

[-

2

，-1]

．

Answer 1

分析：曲线C表示以C（-1，1）为圆心，半径等于1的半圆．当直线过点A（-2，1）时，把点A代入直线方程求得m=-1．当直线和半圆相切时，根据圆心到直线
的距离等于半径，结合图形求得m的值．数形结合可得当曲线C与直线l：x+y-m=0有两个不同的交点时，m的取值范围．

解答：解：曲线C：y=1-

-x2-2x

 即 （x+1）²+（y-1）²=1 （y≤1），
表示以C（-1，1）为圆心，半径等于1的半圆，如图所示：
当直线过点A（-2，1）时，把点A代入直线方程求得m=-1．
当直线和半圆相切时，由1=

|-1+1-m|

2

，求得 m=±

2

，结合图形可得m=-

2

．
故当曲线C与直线l：x+y-m=0有两个不同的交点时，m的取值范围是[-

2

，-1]，
故答案为[-

2

，-1]．

点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．