Question

设函数f（x）=ax³﹣2bx²+cx+4d （a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且x=1时，f（x）取极小值﹣．
（1）求a、b、c、d的值；
（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？证明你的结论；
（3）若x₁，x₂∈[﹣1，1]时，求证：．|f（x₁）﹣f（x₂）≤|．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x，都有f（﹣x）=﹣f（x）．
∴﹣ax³﹣2bx²﹣cx+4d=﹣ax³+2bx²﹣cx﹣4d，即bx²﹣2d=0恒成立．
∴b=0，d=0，即f（x）=ax³+cx．
∴f′（x）=3ax²+c．
∵x=1时，f（x）取极小值﹣ ．
∴f ′（1）=0且f（1）=﹣ ，
即3a+c=0且a+c=﹣ ．
解得a= ，c=﹣1．
（2）当x∈[﹣1，1]时，图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直
证明：假设存在x₁，x₂，则f '（x₁）f '（x₂）=﹣1
所以（x₁²﹣1）（x₂²﹣1）=﹣1
因为x₁，x₂∈[﹣1，1]
所以x₁²﹣1，x₂²﹣1∈[﹣1，0]
因此（x₁²﹣1）（x₂²﹣1）≠﹣1
所以不存在．
（3）证明：∵f ′（x）=x²﹣1，由f ′（x）=0，得x=±1．
当x∈（﹣∞，﹣1）或（1，+∞）时，f ′（x）＞0；
当x∈（﹣1，1）时，f ′（x）＜0．
∴f（x）在[﹣1，1]上是减函数，且f_max（x）=f（﹣1）= ，f_min（x）=f（1）=﹣ ．
∴在[﹣1，1]上，|f（x）|≤ ．
于是x₁，x₂∈[﹣1，1]时，|f（x₁）﹣f（x₂）|≤|f（x）_max﹣f（x）_min|= + = ．
故x₁，x₂∈[﹣1，1]时，|f（x₁）﹣f（x₂）|≤ ．